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近日《返朴》刊发的《量子力学需要虚数吗？》一文，激励了一些研究。本文从时空对称性的角度来看量子力学是否需要虚数（复数）。谜底是信赖的。

撰文 | 1/137， Estelle《返朴》最近刊登的《量子力学需要虚数吗？》（以下简称《虚数》）一文，关于虚数是否在量子力学中起到本色的作用这一陈旧问题的新发达[1， 2， 3] ，作念了解读。本文不贪图就文中实数系量子力学表面本人置喙，而从另外的对称性的角度对复（虚）数在量子力学中的必要性作念一浅显商量。家喻户晓，相对论和量子力学是当代物理学的两大基石（二者的交融则产生了量子场论），而对称性更是连结其中的主旋律。关于狭义相对论，洛伦兹群过火群代数反应了表面的时空结构，况且在低速极限下，“退化”（松开）为伽利略群过火群代数。相应的对称性则条款物理表面在群变换下保捏不变。关于非相对论量子力学，上述对称性旨趣条款薛定谔方程应当在伽利略（群）变换下保捏不变。浅显起见，让咱们沟通 1+1 维非相对论解放粒子，其哈密顿量是

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（存在一般外部势场的情形并不带来非平淡的成果），关于波函数ψ(x，t)，它所温存的薛定谔方程为：

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其中m是粒子的质料。咱们暖热薛定谔方程在（伽利略）时空变换下的性质是怎样的。沟通伽利略时空变换：两个惯性坐标系S和S’中，S’以速率V相干于S沿+x向领路。设t = 0时辰两个参考系的原点重合，触及的领路吊问相对论性的，则

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由伽利略变换可得时空坐标微分关系，

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{jz:field.toptypename/}咱们问：在伽利略变换下薛定谔方程的形貌不变，即

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这一双称性条款对波函数ψ(x， t)产生何种赓续？当先，一个最浅显的选拔是令S′系的波函数ψ'和S的波函数ψ系温存纯实函数，且

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则不难发现，新的S’系的薛定谔方程不行温存伽利略不变性。这个松手很容易获得，就不在此赘述，而算作后文运算的特例给出松手。可是，如若波函数并不是实函数，而是复函数——毕竟，在量子力学中，对称变换下的不变性唯有求波函数的模不变——因此，在时空不变群的变换下，a8体育最一般的波函数变换形貌应取：

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其中Λ(x， t)是相因子（彰着，当Λ = 0 时即是前文实函数的情形）。则凭据前边微分的变换(3)，有：

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以及，

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和

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保捏伽利略不变性条款ψ项和∂ψ/∂x项前的悉数须为零，故有：

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这两个方程包含以下关系：

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由此不难细目相位Λ(x， t)：

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已忽略一个无关进攻的常数。从以上推导可以看出，对称性对时-空间导数加以很强的松手。终末的松手意味着，在时空对称性的赓续下，复数险些势必是（非相对论）量子力学不可分割的一部分。相配是，这个松手存在一个浅显的副居品：当取波函数为（一维）行波时，易得频率（或波长）的变换关系，从而对德布罗意波粒二象性，ℏ → 0 的经典极限有更深的判辨，这在本科量子力学领导中是个极好的例子。这里“险些”的涵义是，咱们只浅显论证了解放粒子的情况，未包括任何势场的情况，也未包括电磁相互作用的最小耦合（这时问题有些非平淡，机械动量和正则动量通过最小耦合联贯洽P = p - eA，A是矢势），相对论的情形更是未加以沟通，可是作家信赖，在基同意趣层面不会发生本色改革。更进一步，以上松手，用群论的道话来说，这即是 Bargmann（中心推广）定理，质料参数算作干系的中心荷参预量子伽利略代数中，使得经典伽利略代数在量子力学中通过投影示意 (Projective Representation) 已矣伽利略协变性（请参考接洽群论讲义）。不外算作简评，就不再赘述了。终末齐截下本短评要点：物理表面在时空变换下不变的对称性条款导致复数险些不可幸免地成为量子力学的一部分。

参考文件

[1] Ming-Cheng Chen et al， Ruling Out Real-Valued Standard Formalismof Quantum Theory， Phys. Rev. Lett. 128， 040403 (2022).[2]P. B. Hita et al， Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description， arXiv:2503.17307 (2025).[3] T. Hoffreumon， M. P. Woods， Quantum theory does not need complexnumbers， arXiv:2504.02808 (2025).注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能激励版权纠纷。

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